Параллельность — очень полезное свойство в геометрии. В реальной жизни параллельные стороны позволяют создавать красивые, симметричные вещи, радующие любой глаз, поэтому геометрия всегда нуждалась в способе проверки этой параллельности. О признаках параллелизма мы поговорим в этой статье.

Определение для параллельности

Выделим определения, которые необходимо знать для доказательства признаков параллельности двух прямых.

Прямые называют параллельными, если они не имеют точек пересечения и лежат в одной плоскости. Кроме того, в решениях обычно параллельные прямые идут в связке с секущей прямой.

Знаки параллельных линий

Инжир. 1. Углы с прямыми и секущими углами.

Прямой называется линия, пересекающая обе параллельные прямые. При этом образуются перекрывающиеся, соответствующие и односторонние углы. Накрест ляжими будут пары углов 1 и 4; 2 и 3; 8 и 6; 7 и 5. Соответствующими будут 7 и 2; 1 и 6; 8 и 4; 3 и 5. Односторонние 1 и 2; 7 и 6; 8 и 5; 3 и 4.

При правильном огласнии написано: «Противоположные углы с двумя параллельными прямыми а и b и секущей с», поскольку для двух параллельных прямых может быть бесконечное множество секущих, поэтому необходимо указать, какую секущую вы имеете в виду.

Также для доказательства понадобится теорема о внешнем угле треугольника, которая гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Признаки

Все признаки параллельности прямых зависят от знания свойств углов и теорем о внешнем угле треугольника.

Признак 1

Две праймые пралленны, если накрест лежажие глы раны.

Две прамятые а и б с секущей точкой зрения. Противолежащие углы 1 и 4 равны. Будем считать, что прямые не параллельны. Знажит праймые пересекаются и не являются точкой пересечения М. Тогда образуется треугольник АВМ с внешним углом 1. Внешний угол при вершине В должен быть равен сумме углов 4 и АМВ, не связанных с ней, по теореме о внешнем угле в треугольнике . Но тогда оказывается, что угол 1 больше угла 4, а это противоречит условию задачи, а значит, точки М не существует, прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Знаки параллельных линий

Инжир. 2. Рисунок для доказательства.

Признак 2

Две праймые праллены, если соответствующие глы при кучшей потребности.

Две прамятые а и б с секущей точкой зрения. Соответствующие углы 7 и 2 равны. Обратите внимание на угол 3. Для угла 7 он вертикальен. Значит, углы 7 и 3 равны. Следовательно, углы 3 и 2 также равны, так как <7=<2 и <7=<3. Угол 3 и угол 2 противоположны. Следовательно, они параллельны, что и требовалось доказать.

Знаки параллельных линий

Инжир. 3. Рисунок для доказательства.

Признак 3

Две праймые пралленны, если разносторонние перчатки ревана 180 дегарам.

Знаки параллельных линий

Инжир. 4. Рисунок к провезову.

Две прамятые а и б с секущей точкой зрения. Сумма односторонних углов 1 и 2 равна 180 градусам. Обратите внимание на углы 1 и 7. Они смежные. То есть:

$$<1+<7=180$

$$<1+<2=180$

Извлечем второе из первого выражения:

$$(<1+<7)-(<1+<2)=180-180$

$$(<1+<7)-(<1+<2)=0$

$$<1+<7-<1-<2=0$

$$<7-<2=0$

$<7=<2$ – и они актуальны. В смысле, параллельно.

Что мы узнали?

Мы подробно разобрали, какие углы получаются при пересечении параллельных прямых третьей прямой, выделили и подробно описали доказательство трех признаков параллельности.