Правильный треугольник обладает множеством специфических свойств, которые значительно упрощают решение задач. Поэтому имеет смысл поговорить о каждом из этих свойств, чтобы облегчить решение задач.

Определение

Правильный треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны и каждый угол равен 60 градусам. Правильный треугольник еще называют равносторонним. О формулах правильного треугольника и о том, как производить с их помощью различные расчеты, мы поговорим ниже.

Правильный треугольник

Рис. 1. Правильный треугольник.

Формулы правильного треугольника

Почти все формулы следуют из утверждения, что правильный треугольник имеет 3 угла по 60 градусов и 3 равные стороны.

Площадь

Начнем с формулы площади.

Равносторонний треугольник любой высоты делится на два равных прямоугольных треугольника. Теперь найдем значение высоты, заменим его классической формулой площади треугольника и получим формулу нахождения площади правильного треугольника.

Правильный треугольник

Рис. 2. Рисунок для доказательства.

В прямоугольном АВМ катет ВМ можно выразить через синус угла БАМ. Этот угол известен и равен 60 градусам, а значит, известны и значения синуса и косинуса этого угла. Так как ВМ противоположна, а это значит, что для ее нахождения нужно воспользоваться формулой синуса.

$$Sin(ВAM)={ВM\над AB}$

С другой стороны, синус 60 градусов известен заранее и равен $\sqrt{3} \over 2$ . Таким образом, мы можем выразить значение AM:

$$ВМ=АВ*sin(ВAM)=AB* {\sqrt{3}\over 2}$

Все стороны треугольника равны между собой, поэтому для простоты обозначим их буквой а.

AB=AC=BC=а

Тогда формула будет выглядеть так:

$$VM=a*{\sqrt{3}\over2}$

Теперь вспомним классическую формулу площади треугольника:

$S= {1\over2}h*a$, где a — основание треугольника, h — высота, проведенная к этому основанию. В данном треугольнике это будет выглядеть так:

$$S={1\over2}*AC*BM={1\over2}*a*a*{\sqrt{3}\over2}=a^2*{\sqrt{3}\over4}$

Полученная формула значительно проще классических по количеству требуемых параметров. Чтобы найти площадь правильного треугольника, достаточно знать значение одной из сторон. Это возможно из-за подобия углов такого треугольника.

Только в правильном треугольнике возможно нахождение площади через значение одной стороны.

Периметр

Периметр найти еще проще, так как он представляет собой сумму всех сторон треугольника, и все они равны между собой, тогда:

Р=3а

Подобный подход, при котором стороны выравниваются или используются свойства медиан и биссектрис равностороннего треугольника, часто применяется при решении подобных задач. Правильный треугольник не имеет и не может иметь объема, поскольку является плоской фигурой. Ему присущи два характерных понятия: площадь и периметр.

В равностороннем треугольнике каждая биссектриса совпадает с медианой и высотой. Также совпадают и точки пересечения этих отрезков. Получившаяся точка зовется центром фигуры.

Правильный треугольник

Рис. 3. Основные формулы правильного треугольника.

Что мы узнали?

Из статьи мы узнали, что у правильного треугольника все стороны и углы равны между собой. Мы узнали о свойствах биссектрисы, медианы и высоты – в правильном треугольнике это будут одни и те же линии. Его можно выполнить из любой вершины.