Пересечение высот треугольника относится к одной из трех примечательных точек треугольника. Эти точки называются замечательными не своей красотой, а своим отношением к золотому сечению треугольника, характеризующему эту фигуру.

Высота

Что такое высота? Высота — это перпендикуляр, падающий из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону треугольника (может оказаться, что высота попадет на продолжение стороны, как это бывает с тупоугольными треугольниками).

Точка пересечения высот треугольника

Рис. 1. Высота в треугольнике.

Точка пересечения высот

Любой треугольник имеет три высоты, и они всегда пересекаются в одной точке. Эта точка является одним из трёх центров треугольника и называется ортоцентром.

Еще со времен Древней Греции приставкой «орто» обозначали перпендикуляр. Ортогоналями звались перпендикулярные прямые.

Точка пересечения высот треугольника

Рис. 2. Ортогональные прямые.

Ортоцентр имеет три варианта размещения в зависимости от типа треугольника:

  • Внутри фигуры. В остроугольных треугольниках пересечение высот всегда находится внутри фигуры. Это связано с тем, что все высоты в таком треугольнике внутренние.
  • Совпадает с верхом. Этот случай типичен для прямоугольных треугольников. В таких треугольниках две высоты из трёх будут совпадать со сторонами. Если быть точнее, то совпадающие стороны — это ножки. Осталась одна высота, которая будет спускаться сверху под острым углом. Именно эта вершина будет ортоцентром треугольника.
  • Не в форме. Внешнее расположение ортоцентра возможно только в тупоугольном треугольнике. Чтобы получить ортоцентр такого треугольника, иногда необходимо продлить высоты до тех пор, пока они не пересекут внешнюю высоту. Почему? Потому что внешняя высота выходит за пределы треугольника и опускается до продолжения одной из сторон, а две внутренние стороны всегда ограничиваются треугольником. Следовательно, без дальнейших построений ортоцентр тупоугольного треугольника найти невозможно.

Точка пересечения высот треугольника

Рис. 3. Точка пересечения высот треугольника.

Золотое сечение треугольника

Золотое сечение треугольника – это маленький треугольник на фигуре, который определяется как пересечение трех центров треугольника.

Три центра треугольника:

  • Половина пересечения
  • Точка пересечения высот
  • Пересечение медиан.

Золотое сечение иногда может вырождаться в прямую линию или даже в точку. В равнобедренном треугольнике пересечение высот и медиан совпадают, в результате для построения золотого сечения понадобится всего 2 точки и золотое сечение выродится в отрезок.

О центрах треугольника существует целая онлайн энциклопедия. Список центров треугольника и свойств каждого из них был начат Карлом Кемберлингом в 1994 году. Онлайн ресурс пополняется все новыми и новыми данными по мере их открытия в высшей математике. В школьном курсе рассматривается только 3 центра треугольника.

В правильном треугольнике каждая высота совпадает с соответствующей медианой, биссектрисой и высотой. Это означает, что все три центра треугольника совпадут, а золотое сечение треугольника будет точкой.

Обратите внимание, что вы не можете создать уравнение пересечения высот треугольника. Можно составить только уравнение прямой. Например, создайте два уравнения высоты, соедините их и найдите координату точки пересечения.

Что мы узнали?

Мы узнали, в каких конструкциях участвует пересечение высот треугольника. Мы рассказали о случаях, когда эта точка совпадает с другими центрами треугольника, и выяснили особенности расположения ортоцентра в разных видах треугольников.