Подобные треугольники – следующий шаг в изучении треугольников по подобию. Необходимо полностью понимать возможности подобия треугольников, чтобы правильно использовать все свойства для решения задач. Давайте разберемся в различиях между равенством, подобием и эквивалентностью, а также поговорим о свойствах сторон и определим площади подобных треугольников.

Подобные треугольники

Подобные треугольники – это треугольники, соответствующие стороны которых пропорциональны и имеют равные углы. Подобные треугольники также подобны с коэффициентом подобия 1.

Площади подобных треугольников

Рис. 1. Подобные треугольники

Коэффициент пропорциональности (подобия) – это отношение длин сторон одного треугольника к соответствующим длинам сторон другого треугольника. Важно при подсчете коэффициента строго соблюдать какая сторона к какой относится.

Например, если вы начали расчет с деления сторон большего треугольника на стороны меньшего, вам следует продолжать следовать этому подходу.

Признаки подобия

Знаки равенства чем-то похожи на знаки равенства в треугольниках. Всего их три:

  • На двух углах. Если два угла треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • На трёх страницах. Если три стороны треугольника пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • О двух сторонах и угле между ними. Если две стороны треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Площади подобных треугольников

Рис. 2. Признак подобия треугольников

Свойства подобных треугольников

  • Стороны подобных треугольников пропорциональны и относятся друг к другу в соотношении, равном коэффициенту подобия.
  • Углы подобных треугольников равны.
  • Площади подобных треугольников относятся друг к другу в соотношении, равном квадрату коэффициента подобия.

Давайте подробнее рассмотрим новейшую недвижимость. Почему все стороны относятся как коэффициент к первой степени, а площади возводятся в квадрат? Потому что площадь равна половине произведения основания на высоту.

Пропорциональны друг другу не только стороны, но и характерные отрезки: медианы, высоты, биссектрисы.

Получается, что обе части произведения площади пропорциональны, но в произведении участвуют и высота, и основание. Это означает, что коэффициент пропорциональности необходимо возвести в квадрат.

$$S_1={1\over{2}}*h_1*a_1$

$$S_2={1\over{2}}*t_2*a_2$

$${S_1\over{S_2}}={{h_1*a_1}\over{h_2*a_2}}$

$${S_1\over{S_2}}={h_1\over{h_2}} *{a_1\over{a_2}}$

$${S_1\over{S_2}}=k *k$

$${S_1\over{S_2}}=k ^2$

Нужно четко различать понятие подобных и равновеликих треугольников. Подобные треугольники имеют коэффициент подобия, в соответствие с которым соотносятся стороны треугольника. А равновеликие треугольники могут, как угодно разнится по значениям сторон, важно лишь, чтобы площади треугольников были равны.

Площади подобных треугольников

Рис. 3. Треугольники равной площади

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое подобные треугольники, и рассказали об их свойствах. Мы рассказали о связи площадей подобных треугольников и вывели эту зависимость на практике для лучшего запоминания формулы.