Медиана треугольника, как и высота, выступает графическим параметром, определяющим весь треугольник, величину сторон и углов. Три значения: медианы, высоты и биссектрисы — это как штрих-код на товаре, наша задача — просто уметь его посчитать.

Определение

Медиана — это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. Треугольник имеет три вершины, а значит, и три медианы. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные сегменты.

Свойства медиан

  • Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисой и высотой.
  • Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  • Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади, а три медианы делят треугольник на 6 треугольников одинаковой площади.

Равновеликими называют треугольники, площади которых равны.

Медиана треугольника

Рис. 1. Три медианы образуют 6 равных треугольников.
  • Пересечение медиан делит их в соотношении 2:1, считая от вершины.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Задачи

Все эти качества легко запомнить, они легко закрепляются на практике. Чтобы лучше понять тему, давайте решим несколько задач:

  • В прямоугольном треугольнике известны катеты, равные a=3 и b=4. Найдите значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Медиана треугольника

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Чтобы найти значение медианы, нам нужно найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине ее. Гипотенузу находим по теореме Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

Найдем значение медианы: $$m={c\over2}={5\over2}=2,5$$ — полученное число и есть значение медианы.

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

  • Значения сторон треугольника известны: а=8; б=7; с=9. Найдите значение медианы, опущенной к стороне b.

Медиана треугольника

Рис. 3. Рисунок к заданию.

Чтобы решить эту задачу, используйте одну из трех формул для нахождения медианы сторон треугольника:

$$m^2 ={1\over2}*(b^2+c^2-a^2)$

Как видите, здесь главное запомнить коэффициент скобок и знаки по сторонам. Знаки запомнить легче всего — всегда вычитается та сторона, на которую опущена медиана. В нашем случае это одно, но может быть и любое другое.

Подставим значения в формулу и найдем медианное значение: $$m=\sqrt{{1\over2}*(b^2+c^2-a^2)}$

$$m=\sqrt{{1\over2}*(49+81-64)}=\sqrt{33}$$ — оставим результат в беспорядке.

  • В равнобедренном треугольнике медиана проведена к основанию 8, а само основание равно 6. Вместе с оставшимися двумя эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найдите площадь каждого из них.

Медианы делят треугольник на шесть равных частей. Это значит, что площади маленьких треугольников будут равны друг другу. Достаточно найти площадь большего и разделить ее на 6.

Учитывая медиану, проведенную к основанию, в равнобедренном треугольнике это биссектриса и высота. Это означает, что известны основание и высота треугольника. Вы можете найти площадь.

$$S={1\over2}*6*8=24$

Площадь каждого из маленьких треугольников: $${24\over6}=4$

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое медиана. Мы определили свойства медианы и нашли решения типичных задач. Мы рассказали об основных ошибках и выяснили, как быстро и легко запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.