Медиана является одним из характеризующих отрезков треугольника, наряду с биссектрисой и высотой. Студентам часто бывает особенно трудно найти медиану. В обычном случае нужно воспользоваться формулой, но для равностороннего треугольника можно вывести упрощенный вариант нахождения медианы.

Необходимые данные

Для вывода формул нужно вспомнить несколько теоретических расчетов:

  • Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  • В равнобедренном треугольнике медиана проведена к основанию, биссектрисе и высоте. Правильный треугольник — это частный случай равнобедренного треугольника, основанием которого может быть любая из сторон. Это означает, что каждая медиана равностороннего треугольника будет совпадать с соответствующей биссектрисой и высотой.
  • В правильном треугольнике все стороны равны, а каждый угол равен 60 градусам.

Нахождение медианы по общей формуле

Для начала воспользуемся общей формулой. Вспомним формулу длины медианы через длины сторон треугольника:

Длина медианы правильного треугольника

Рис. 1. Медиана в правильном треугольнике.

$$m_c={{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\over{2}}$

Но в правильном треугольнике все стороны равны между собой:

а=б=с

Заменим в формуле условия равенства и представим аналогичные слагаемые:

$$m_c={{\sqrt{2a^2+2a^2-a^2}}\over{2}}$

$$m_c={{\sqrt{3a^2}}\over{2}}$

Значение ${a^2}$ можно переместить за пределы корня. Затем:

$$m_c={{\sqrt{3a^2}}\over{2}}$

$$m_c={{\sqrt{3}}\over{2}*а}$

Найдите медиану, используя теорему Пифагора

Теперь попробуем вывести ту же формулу, используя теорему Пифагора.

В существующем правильном треугольнике ABC проводим медиану AM. Она будет совпадать с биссектрисой и высотой. Тогда, используя теорему Пифагора, из треугольника АВМ найдем сторону АМ, которая и будет медианой большого треугольника.

Длина медианы правильного треугольника

Рис. 2. Рисунок к задаче.

$$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}$

Но все стороны треугольника равны, а точка М является серединой стороны ВС. Средства:

$$AB=а$

$$VM={1\over2}BC={1\over2}a$

Подставим эти значения в исходную формулу:

$$AM={\sqrt{AB^2-BM^2}}= {\sqrt{a^2-{{a}\over{2}}^2}}= \sqrt{a^2-{{ а^2}\over{4}}}=\sqrt{{3a^2}\over{4}}$

Вынесем значения $a^2$ и 4 за знак корня.

$$AM=\sqrt{{3a^2}\over{4}}=a*{{3}\over{\sqrt{2}}}$

Результатом является та же формула для длины медианы правильного треугольника. Это означает, что вывод первого метода был проведен правильно, и вы можете воспользоваться любым из двух способов, если вдруг забыли формулу нахождения медианы равностороннего треугольника.

Длина медианы правильного треугольника

Рис. 3. Пересечение медиан правильного треугольника.

Последний метод очень часто используется не только для вывода формул правильного треугольника, но и для решения задач.

Что мы узнали?

Мы использовали несколько методов, чтобы вывести формулу длины медианы равностороннего треугольника. Они указали на метод решения простых задач по нахождению свойств правильного треугольника, а также вспомнили об основных свойствах медианы.