Умножение и деление обыкновенных дробей

Умножение и деление обыкновенных дробей – это основа навыка умножения и деления любых дробей вообще. Ошибки при выполнении примеров на данную тему в математике 5 класса недопустимы, поскольку приводят к огромным ошибкам в более сложных вычислениях.

Виды дробей

Дробь это некоторое выражение, которое отражает, на сколько частей поделили целое и сколько получившихся частей взяли для расчета

Выделяют следующие виды дробей:

• Десятичные, у которых в знаменателе стоит число 10 и степени числа 10
• Обыкновенные, у которых числитель меньше знаменателя
• Неправильные, у которых числитель больше знаменателя
• Смешанные, то есть дроби, у которых выделили целую часть в отдельное число.

Кроме того, существует другое определение, согласно которому, дробь это незавершенная операция деления. В целях сокращения точности расчетов люди не производят операцию деления до конца. Вместо результата просто записывают дробь и считают дальше.

Умножение дробей

Умножение дробей осуществляется по принципу «каждый на каждый». Это значит, что числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель. Так можно умножить любое количество дробей, просто заменив пример одной дробью с произведениями в числителе и знаменателе.

Приведем пример:

$${3\over{4}}*{5\over{6}}*{7\over{12}}={{3*5*7}\over{4*6*12}}$$

Рассмотрим пример сокращения в процессе умножения на уже приведенном примере:

${3\over{4}}*{5\over{6}}*{7\over{12}}={{3*5*7}\over{4*6*12}}={{5*7}\over{4*6*4}}$ – мы сократили число 3 в числителе и число 12 в знаменателе на число 3, убрав один множитель из числителя и упростив выражение в знаменателе. Теперь придется меньше времени потратить на вычисления

${{5*7}\over{4*6*4}}={35\over{64}}$ – помимо облегчения вычислений, сокращение избавляет нас от работы по упрощению конечной дроби. Можно сразу быть уверенным в том, что результат сократить невозможно.

Почему умножение производится именно так? Вспомним о том, что дробь это незавершенное деление. Тогда умножение дробей можно представить как умножение двух примеров на деление. Выглядеть это будет так:

(а:в)*(х:у) – правила деления при этом допускают перемножить делимые и делители, а потом выполнить деление с результатами. То есть:

(а:в)*(х:у)=(а*х):(в*у) – по этому принципу и выполняется умножение дробей.

Деление дробей

Деление дробей осуществляется с помощью приема переворота. Дробь-делитель переворачивается, то есть числитель становится знаменателем, а знаменатель числителем. После этого дробь-делимое умножается на перевернутое делимое согласно правилу «каждый на каждый».