Привести дроби к общему знаменателю

Часто оказывается, что работа с дробями не вызывает затруднений у учащихся. Основная проблема – найти общий знаменатель. Чтобы справиться с этой проблемой, нужно запомнить правило приведения дробей к общему знаменателю и понять, зачем вообще нужен этот общий знаменатель.

Что такое дробь?

В 5 классе учащиеся узнают, что дробь – это целое, разделенное на части. Также в знаменателе указано количество частей, на которые был разделен предмет, а в числителе указано количество этих частей, которые были приняты для расчета.

Но в математике есть другое определение: дробь – это неполное действие деления. Это значит, что как любую дробь можно превратить в деление, так и любое деление можно превратить в дробь. Например:

$${5\более{7}}=5:7$

$$7:13={7\более{13}}$

$$12:9={12\более{9}}$

Можно приводить бесконечные примеры, но смысл от этого не изменится: черта дроби заменяет знак деления.

Зачем нужно находить общий знаменатель?

Чтобы сложить или вычесть две дроби, необходимо превратить две операции деления в одну. Это возможно только в том случае, если делитель одинаковый. В виде формулы это выглядит так:

a:bc:e=(a*e):(b*e)-(c*c):(c*e)=((a*e)-(c*c)):(c*e)

То есть, чтобы складывать или вычитать дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. В противном случае вы просто не сможете правильно решить пример.

Для умножения и деления дробей, приводить дроби к общему знаменателю не требуется. Для этих операций существует другое теоретическое обоснование, которое предполагает другой порядок действий.

Как найти общий знаменатель дробей

Чтобы найти общий знаменатель дробей, нужно найти наибольшее общее кратное знаменателей. Приведем пример и решим небольшое выражение:

$${3\более{5}}+{7\более{15}}$

Найдем НОК знаменателей. Число 15 делится на число 5, что означает

НОК(5;15)=15

$${3\over{5}}+{7\over{15}}={{3*3}\over{15}}+{7\over{15}}={9\over{15}} +{7\over{15}}={16\over{15}}=1 {1\over{15}}$$- обратите внимание, что с увеличением числителя увеличивается и знаменатель. В конце решения примера с дробями по возможности выделите целую часть выражения.

Привести дроби к общему знаменателю можно только пользуясь основным свойством дроби. Формулировка этого свойства звучит так: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Это значит, что при приведении дроби к общему знаменателю, требуется учитывать и увеличение числителя.

НОК можно найти аналитически, как мы это сделали в примере. Но чаще всего приходится прибегать к разложению на простые множители. Как найти НОК двух чисел:

  • Разложите эти числа на простые множители
  • Проверьте, какие простые множители отсутствуют в разложении.
  • Берется число с наименьшим количеством множителей и к разложению добавляются числа, которые есть в других разложениях, но по существу отсутствуют. Также учитывается количество цифр. Это значит, что если в основном разложении одно число 3, а в других разложениях два числа 3, то необходимо основное разложение умножить на две тройки.

Что мы узнали?

Мы говорили о приведении дробей к общему знаменателю. Нам рассказали, зачем это нужно и какие операции с дробями можно производить без приведения к общему знаменателю. Привели пример и рассказали, как меняется числитель при приведении дробей к общему знаменателю.