Наименьшее общее кратное

Дроби – сложный предмет, который начинают изучать с 6 класса: без знания дробей будет невозможен банковский кредит, дележ торта, а также точные расчеты. Число, облегчающее работу с дробями, — это наименьшее общее кратное чисел.

Что это такое?

Наименьшее общее кратное можно найти только для ряда чисел. Минимальное количество цифр в ряду: 2. Что это значит? Для двух, трех или 120 чисел можно найти наименьшее общее кратное, а для одного числа его найти нельзя.

Зачем это нужно?

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю, используя основное свойство дроби.

И чтобы найти этот общий знаменатель, нам понадобится НОК (наименьшее общее кратное). Это наименьшее число, которое делится на каждое из чисел ряда.

Приведем пример.

Создадим ряд чисел: 3, 5, 7. Теперь найдём НОК этого ряда.

Обратите внимание, что все числа в ряду являются простыми числами.

Чтобы найти наименьшее общее кратное ряда простых чисел, нужно просто умножить их.

$$NOK=3*5*7=105$

Но что произойдет, если в ряду состоят три комплексных числа?

18,15,25 – найдем НОК для этого ряда.

Для этого каждое из чисел необходимо разложить на простые множители.

$$18=2*3*3$

$$15=3*5$

$$25=5*5$

Чтобы найти НОК, необходимо умножить простые делители чисел, которые еще не найдены.

Начнем с числа 2. Двойка встретилась только в простых множителях числа 18, вычеркнем ее.

$$NOK=2*…$

Следующее число — 3. Вычеркиваем по одной тройке из расширения числа 18 и из расширения числа 15.

$$НОК=2*3…$

У нас осталось от одного до трёх в расширении под номером 18.

$$NOK=2*3*3…$

Теперь посмотрим, какое число осталось в разложении 15. Это 5:

$$NOK=2*3*3*5…$

Вычеркиваем одну 5 из разложения числа 15 и одну из разложения числа 25. Осталось одно число, множители которого не проверяются: это 25, где осталась только одна 5. Добавьте его в LCM и получите окончательное значение:

$$NOK=2*3*3*5*5=450$

Вот так нужно поступить с рядом цифр, для которых нужно найти НОК.

Использование НОК для сложения и вычитания дробей

Теперь давайте посмотрим, как мы можем использовать эти знания на практике для решения проблем. С помощью второго ряда цифр создаем три дроби, которые необходимо сложить:

$${3\over18}; {4\более15}; {8\более25}$

LCM = 450, это мы уже рассчитали в предыдущем разделе. Давайте посмотрим, на какое число нам нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби, чтобы привести их к общему знаменателю.

${3\over18}$ необходимо умножить на число, равное ${LCM\over18}={450\over18}=25$.

Умножьте числитель и знаменатель дроби на 25:

$${3\over18}={{3*25}\over{18*25}}={75\over450}$

Проделаем то же самое с каждой из оставшихся дробей:

${4\over15}$ необходимо умножить на ${LCM\over15}={450\over15}=30$

$${4\over15}={{4*30}\over{15*30}}={120\over450}$

${8\over25}$ необходимо умножить на ${LCM\over25}=18$

$${8\over25}={{8*18}\over{25*18}}={144\over450}$

Теперь сложим полученные дроби:

$${3\over18}+{4\over15}+{8\over25}={75\over450}+{120\over450}+{144\over450}={339\over450}$

Это сумма ряда.