Самые большие общие части

Наиболее общим множителем является еще один расчет, который упрощает работу с дробями. Очень часто в результате вычислений получаются дроби с очень большими значениями числителя и знаменателя. Поэтапно уменьшать такие числа можно, но это крайне трудоемко, поэтому проще сразу найти НОД и сократить с его помощью. Давайте рассмотрим тему более подробно.

Что такое НОД?

Наибольший общий делитель (НОД) ряда чисел — это наибольшее число, на которое можно разделить каждое из чисел ряда без остатка.

Это значение чаще всего используется для ряда из двух чисел. Просто потому, что сокращаются обычно два числа: числитель и знаменатель дроби. Нахождение НОД для большего количества значений не всегда оправдано, но вырабатывает навык.

Как найти НОД?

Чтобы найти НОД, необходимо каждое из чисел разложить на простые множители и выделить общую часть.

Специальной формулы для этого не придумали, зато есть алгоритм вычисления.

Приведем пример нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел: 540 и 252. Разложим 640 на простые множители. Последовательность действий следующая:

  • Разделите число на наименьшее возможное простое число. То есть, если число делится на 2, 3 или 5, то нужно сначала разделить на 5. Просто чтобы не запутаться.
  • Полученный результат делим на наименьшее возможное простое число.
  • Повторяем деление каждого полученного результата до тех пор, пока не получим простое число.

Теперь проведем ту же процедуру на практике.

  • 540:2=270
  • 270:2=135
  • 135:3 =45
  • 45:3=15
  • 15:5 = 3

Запишем результат равенством 540=2*2*3*3*3*5. Чтобы записать результат, необходимо последнее полученное число умножить на все делители.

Проделаем то же самое с числом 252:

  • 252:2=126
  • 126:2=63
  • 63:3=21
  • 21:3 = 7

Запишем результат: 252=2*2*3*3*7.

Каждое расширение имеет одинаковые номера. Давайте их найдём, это две цифры 2 и две цифры 3. Отличаются только 7 и 3*5. Чтобы найти НОД, перемножьте общие делители. Это значит, что в работе будет две двойки и две тройки.

НОД=2*2*3*3=36

Как можно это использовать?

Задача: сократить дробь $$252\over540$.

НОД этих двух чисел мы уже нашли, теперь просто воспользуемся уже вычисленным значением.

НОД = 36

Сократите числитель и знаменатель дроби на 36 и получите ответ.

$${252\over540} ={7\over15}$$ – чтобы быстро сократить, достаточно посмотреть на разложение чисел.

Если 540=2*2*3*3*3*5 и НОД=36=2*2*3*3, то 540 = 36*3*5. А если разделить 540 на 36, то получится 3*5=15.

Без НОД нам пришлось бы писать сокращения в одну длинную строку. Кроме того, бывают случаи, когда неясно, можно ли вообще сократить дробь. Для таких ситуаций математика придумала разложение чисел на простые множители и НОД.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое наибольший общий делитель пары чисел, узнали, как пользоваться показателем степени на практике, решили задачу нахождения НОД и использования НОД для приведения дробей. Мы поняли, что с помощью НОД можно проще и быстрее сокращать громоздкие дроби, находя НОД числителя и знаменателя.