Абсолютное значение числа

Понятие о модуле числа часто вызывает страх и непонимание у учащихся. На самом деле эта тема по математике в 6 классе совсем не сложная. Чтобы разобраться в проблеме более детально, поговорим об основных моментах концепции темы модуля.

Числовая прямая

Начать изучение модуля необходимо с понятия о числовой прямой и векторе. Числовая линия – это прямая линия, на которой отмечено направление движения, точка 0 (начало координат) и указан размер отрезка единицы

На числовой прямой можно отметить любое из действительных чисел. Вне зависимости от подмножества, величины числа и его дробной части. Прямая бесконечна, а потому вмещает в себя абсолютно любые числа, кроме комплексных.

Я часто использую числовую линию для сравнения разных типов чисел. Если вы отметите два числа на линии, то число справа будет больше, а число слева — меньше.

Вектор – это направленный отрезок. Это означает, что вектор имеет два свойства: направление и размер самого отрезка. Векторы можно складывать по правилу многоугольника или параллелограмма и умножать по специальной формуле.

Любое число, отмеченное на числовой прямой, создает вектор, соответствующий этому числу. Направление вектора указывается с помощью знака числа. Положительные числа сонаправлены с числовой прямой, отрицательные – направлены противоположно.

Модуль

Если каждое число можно отметить на числовой прямой, то каждое число имеет свой вектор.
Вектор имеет три возможных состояния:

  • Положительное число и вектор, сонаправленный с числовой прямой.
  • Отрицательное число и вектор, направленный в противоположном направлении от числовой прямой.
  • Число ноль или нулевой вектор — это вектор без направления.

Модуль — это величина сегмента вектора. То есть, если к числу добавляется знак модуля, параметр направления вектора удаляется. В геометрии это необходимо для нахождения произведений векторов и вообще всех алгебраических операций с векторами. В примере не получится прописать и учесть направление, поэтому и был придуман модуль.

В алгебре модуль числа означает, что при расчетах берется только размер отрезка без учета направления. На практике это означает, что модуль будет:

  • Положительное число в положительное.
  • Отрицательное число к положительному.
  • От нуля до нуля.

Возникает вопрос, почему отрицательное число становится положительным? Знак минус — это просто указание направления вектора. Не больше и не меньше. А знак модуля убирает параметр направления. Может ли размер сегмента быть отрицательным? Конечно, нет. Следовательно, модуль отрицательного числа всегда является положительным числом.

Почему модуль нуля равен нулю? Потому что нулевой вектор — это точка. Какие размеры может иметь точка? Правильно – никакого. Следовательно, модуль числа ноль равен нулю.

Что мы узнали?

Мы дали определение модуля числа. Мы говорили о числовой прямой и векторе. Мы узнали, что каждое число имеет свое значение на числовой прямой. Отрезок от нулевой точки до точки числа на числовой прямой является вектором этого числа. Они сказали, что длина этого отрезка — модуль. Они сказали, что модуль не может быть отрицательным, потому что длина отрезка не может быть отрицательной. Отдельно мы говорили о модуле числа ноль. Они сказали, что вектор числа ноль — это точка, а точка не может иметь размеров. Следовательно, нулевой модуль равен нулю.