Сложение и вычитание смешанных дробей

Сложение и вычитание смешанных дробей – это не трудные операции. Они основываются в основном на простейших правилах арифметики. Главное, разобраться, как правильно работать с дробной и целой частью, после этого примеры математики от 5 класса и выше не будут представлять проблем.

Смешанная дробь.

Очень часто учителя математики говорят, что знак дроби заменяет деление. Как это объяснить? Приведем небольшой пример.

Если попытаться выполнить деление

2:3 – то целого числа не получится. На 3 можно разделить либо 3, либо 6, а вот 2 или 1 уже не получится. Но что делать, если нужно выполнять математические операции с такими числами? Округлять? Представим ситуацию, когда требуется умножить несколько таких чисел. В таком случае, округление будет тянуться до бесконечности, а значит, будет увеличиваться расхождение конечного числа с реальным ответом.

Посмотрим на примере, как будет увеличиваться это расхождение. Поработаем все с тем же числом:

$$2:3={2\over{3}}$$

Умножим это число на такое же не поддающееся делению число:

$${2\over{3}}*{9\over{13}}={18\over{39}}=0,462$$ – округлять будем до тысячных, чтобы отследить примерное расхождение. Теперь округлим каждую из дробей и посмотрим, что будет, если перемножить округление:

0,666*0,692=0,461 – расхождение в 1 сотую. И чем больше округлений в примере, тем больше будет расхождение. Поэтому в вычислениях используют дробные числа.

Смешанные дроби.

Тогда зачем придумали смешанные дроби? Смешанная дробь – это дробь, у которой выделили целую часть, но дробный остаток еще остался. Например:

$$3 {7\over{812}}$$

Работать с громоздкими числителями не всегда удобно, поэтому целую часть выделяют и работают с ней отдельно. Например, если бы в примере не выделили целую часть, то было бы:

$${2443\over{812}}$$

Число вышло слишком громоздким. Поэтому в математике принято работать со смешанными дробями.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание смешанных дробей процесс не сложный. Важно запомнить простое правило: в первую очередь работают с целыми частями, только после этого переходя на дроби.

Рассмотрим несколько нюансов:

• Если при сложении двух смешанных дробей числитель получившейся дроби получается больше знаменателя, то из дробной части выделяется целое число и прибавляется к уже имеющейся целой части. Дробный остаток так же записывается рядом. Вполне может получится, что при таком сложении дробная часть полостью перейдет в целую.
• Если при вычитании дробной части числителя недостаточно для выполнения операции, нужно «занять» единицу у целой части. Для этого от целой части отнимается единица, а к числителю прибавляется величина, равная величине знаменателя.
• Чтобы правильно выполнить вычитание, можно просто обе дроби перевести из смешанных в неправильные и выполнить операцию по правилам сложения и вычитания обычных дробей.

Пример

Рассмотрим небольшой пример вычитания смешанных чисел.

$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}$$

• Первым шагом выполним действие дробной частью.

$${15\over{16}}-{17\over{18}}={{15*9-17*8}\over{144}}={{135-136}\over{144}}$$ – как видно, дробной части недостаточно для вычитания. При этом целая часть уменьшаемого больше целой части вычитаемого. Значит, занимаем единицу у 3. Не забываем, что при этом целая часть уменьшается на единицу.

• То есть получим:

$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}=2 {31\over{16}}-2 {17\over{18}}$$

В дробной части:

$${31\over{16}}- {17\over{18}}={{31*9-17*8}\over{144}}={{279-136}\over{144}}={143\over{144}}$$

Целая часть:

2-2=0

• Запишем все выражение вместе с ответом:

$$3 {15\over{16}}- 2 {17\over{18}}={143\over{144}}$$