Делимость чисел

Большинство признаков делимости чисел не имеют доказательной основы. Это набор наблюдений, которые помогают при быстрых расчетах. Иметь доказательства слишком сложно для понимания обычных людей, но любой может использовать доказательства в рамках математики 5-го класса.

Что такое делимость?

Делимость – это способность делить одно число на другое без остатка.

Установим отдельно, что деление без остатка предполагает получение в результате деления целого числа. Это важно, потому что учащиеся очень часто делят числа и в итоге получают десятичную дробь. Такое деление также происходит без остатка, но не может считаться полным делением. Выполнение критериев делимости указывает на возможность деления числа на целое число.

Признаки делимости

Рассмотрим основные признаки делимости.

Делимость на 2

Любое четное число делится на 2. Четное число — это любое число, в позиции единиц которого имеется любая из следующих цифр:

• 0
• 2
• 4
• 6
• 8

Делимость на 5 и 10

На 5 делятся только числа, оканчивающиеся на 5 и 0. Это легко проверить, взглянув на таблицу умножения. В столбце с умножением числа 5 все результаты заканчиваются на 5 или 0. В таблице естественно указано умножение на числа от 1 до 10, затем тенденция продолжается дальше, до бесконечности. Значит число 50000995 будет делиться на 5.

Число 10 является произведением чисел 2 и 5. При нахождении признака делимости на это число используйте следующие рассуждения: число 10 есть произведение 2 и 5. Это означает, что для числа должно делитьсяся на 10, оно должно делиться одновременно на 2 и 5. То есть число, которое делится на 10, должно быть четным и оканчиваться на 5 или 0. Но четное число не может оканчиваться на 0. Это означает, что на 10 делятся только числа, оканчивающиеся на 0.

Делимость на 3 и 9

Признак делимости на 3 уникален в своем роде. Чтобы быть уверенным, что вы сможете разделить число на 3, необходимо сложить все цифры числа. Если полученная сумма делится на 3, то и целое число делится на 3. Конечно, в конце все равно нужно проверить какое-то число на делимость. Но сумма цифр всегда в несколько раз меньше самого числа, поэтому данная функция облегчает определение делимости числа.

Делимость числа на 9 определяется по тому же критерию. Если сумма цифр числа делится на 9, то и целое число делится на 9.

Делимость на 6

Число 6 является произведением чисел 2 и 3. Следовательно, чтобы число делилось на 6, необходимо выполнение двух условий:

• Число должно быть четным
• Сумма цифр числа должна делиться на 3.