Тригонометрические уравнения – очень сложная часть. Будучи изученным в школьной программе, он встречается только в высшей физике и математике, в редких разделах программирования. Это делает тему несколько далекой и запутанной, но от этого не менее интересной.

Что нужно знать?

Этот предмет, как и любой другой, требует набора базовых знаний, необходимых для понимания проблемы. Давайте сразу перечислим необходимые навыки, чтобы потом не возвращаться к этому:

  • Умение пользоваться таблицами Брадиса.
  • Знание формул приведения. Это очень часто требуется для преобразования синуса в косинус или наоборот.
  • Знание тригонометрических формул. Это чрезвычайно важно для решения сложных уравнений.
  • Знание определений тригонометрических функций.

Определения пригодятся при изучении единичной окружности.

Тригонометрические уравнения

Уравнение, в котором в качестве аргумента тригонометрической функции выступает неизвестное, называется тригонометрическим. В этом случае ответом будет угол, выраженный в радианах. При этом значение этого угла будет повторяться с определенной периодичностью (обычно 2\pi)

Примеры

Решить тригонометрические уравнения можно двумя способами. Первый – алгебраический, когда для упрощения уравнения тригонометрическую функцию полностью заменяют неизвестной.

Само собой разумеется, что замена не должна совпадать с изначальной переменной.

Второй метод предполагает тригонометрические преобразования. При решении для получения результата используются тригонометрические формулы.

Алгебраический метод

$$2sinx^2+3sinx−2=0$

В формуле тригонометрического уравнения сразу видны признаки алгебраического метода: используются те же функции, с теми же аргументами. Только числовые коэффициенты разные.

В такой ситуации необходимо заменить тригонометрическую функцию неизвестной и решить уравнение. В нашем случае тригонометрическая функция имеет вид: $sin(x)$

$$sin(x)=y$

$$2у^2+3у-2=0$

Давайте решим квадратное уравнение. Найдем значение дискриминанта:

$$D=b^2-4ac=3^2+4*2*2=25$

$$y1={{-b+\sqrt{D}}\over{2a}}={{-3+\sqrt{25}}\over{2*2}}=0.5$

$$y2={{-b-\sqrt{D}}\over{2a}}={{-3-\sqrt{25}}\over{2*2}}=-2$$ – этот корень будет быть корнем полученного квадратного уравнения, но оно не подходит для тригонометрического уравнения. Потому что значения синуса и косинуса должны быть в диапазоне от -1 до 1

Средства:

у1=0,5

$$sin(x)=0,5$

$$х={{\pi}\over3}+{{\pi}\over2}$

Тригонометрический метод

Решим уравнение: $$2sin(x^2)+3cos(x^2)−2=0$

Для решения уравнений необходимо использовать некоторые преобразования:

$$2sin(x)^2+3cos(x)^2−2=0$

Обратите внимание, что и косинус, и синус имеют один и тот же аргумент. Давайте воспользуемся этим и выберем одинаковое количество синусов и косинусов, затем вынесем это же количество за скобки и сложим квадраты синуса и косинуса согласно основному тригонометрическому свойству.

$$2sin(x^2)+3cos(x^2)−2=0$

$$2sin(x^2)+2cos(x^2)+ cos(x^2)−2=0$

$$(2sin(x^2)+2cos(x^2))+ cos(x^2)−2=0$

$$2(sin(x^2)+cos(x^2))+ cos(x^2)−2=0$

$$2 +cos(x^2)−2=0$

$$cos(x^2)=0$

$$cos(x)=0$

$$x=({{\pi}\over2}+\pi)$

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое тригонометрические уравнения. Мы научились их решать и привели примеры решений для каждого из двух основных методов. Мы определили основные навыки и знания, необходимые для правильного решения уравнений этого типа.