Квадратное уравнение является основой большинства задач и примеров школьного курса математики. Факторизация квадратного уравнения — это процесс, необходимый для решения уравнений рациональных дробей.

Формула квадратного уравнения

Давай выясним. Крайне редко факторизуют квадратное уравнение. Чаще всего это используется при решении неполных квадратных уравнений. Но очень часто термины «факторизация квадратного уравнения» и «факторизация квадратного трехчлена» путают».

Последний очень часто используется при решении рациональных дробных уравнений или приведении многочленов, содержащих дробь. Квадратное трехчленное разложение очень эффективно для приведения многочленов, так как для выполнения разложения не нужно производить сложные манипуляции, достаточно решить квадратное уравнение и использовать.

Формула разложения на множители

Но как получается, что речь идет о квадратном трехчлене, а нам приходится решать квадратное уравнение? Давай выясним.

Вот формула квадратного трехчлена:

$$ax^2+bx+c$$ — это просто выражение.

А квадратное уравнение – это тождество, т.е равенство:

$$ax^2+bx+c=0$$ – это не означает, что квадратное уравнение нельзя разложить по этой формуле. Можно, но это будет бессмысленно. Поскольку квадратичные примеры требуют нахождения корней квадратного уравнения и использования формулы для факторизации квадратного трехчлена, сначала необходимо решить квадратное уравнение.

Формула выглядит следующим образом:

$$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$, где $x_1 и x_2$ — корни квадратного уравнения.

Пример использования

Приведем пример использования этой формулы.

Необходимо упростить полином:

$${{7x^2-21x-70}\более{7x+14}}$

Обратите внимание, что все коэффициенты имеют в числителях общий множитель 7, этот множитель также можно вынести за скобки в знаменателе.

$${{7x^2-21x-70}\over{7x+14}}= {{7x^2-3x-10}\over{7(x+2)}}={{x^2-3x -10}\over{x+2}}$

Теперь рассмотрим квадратный трёхчлен в числителе. Распечатаем его отдельно и запишем квадратное уравнение, соответствующее этому квадратному трёхчлену.

Это именно квадратное уравнение соответствует трехчлену, а не трехчлен равен нулю. Значение трехчлена не будет определено, пока не будут задано значение переменных или значение, которому равен многочлен.

$$x^2-3x-10=0$

Решим квадратное уравнение, используя теорему, обратную теореме Виета.

$$х_1+х_2=3$

$$х_1*х_2=-10$

Простым выбором можно быстро найти корни:

$$х_1=5$

$$х_2=-2$

Давайте воспользуемся формулой.

Если при х^2 нет коэффициента, значит он равен единице. В любых формулах коэффициент 1 можно не писать. Это подразумевается само собой.

$$x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$

Запишем результат в исходный полином:

$$ {{x^2-3x-10}\over{x+2}}= {{(x-5)(x+2)}\over {x+2}}=(x-5)$

Запишем исходный полином и результат:

$${{7x^2-21x-70}\over{7x+14}}= (x-5)$

Что мы узнали?

Мы разграничили понятия квадратного уравнения и квадратного трехчлена, трактовали понятие формулой факторизации квадратного уравнения и привели пример использования этой формулы.