Корни квадратного уравнения

Решение квадратных уравнений очень важно для решения практических задач в физике, поскольку многие формулы имеют высшую степень 2, в программировании и многих других смежных дисциплинах. Способов решения уравнения не так много, но чем больше уравнений вы решите, тем быстрее и проще будет найти корни. Сегодня мы рассмотрим решение полных квадратных уравнений стандартной формы.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – это уравнение, старшая степень которого равна 2. Такое уравнение всегда имеет два корня, иногда эти корни совпадают, а иногда они не входят в число действительных чисел. В последнем случае пишем, что действительных корней нет.

В квадратном уравнении стандартной формы имеются три коэффициента:

• а-первый коэффициент
• c-секундный коэффициент
• c-свободный член в уравнении.

Стандартная форма уравнения записывается следующим образом:

$$a^2*x+b*x+c=0$$ – где a, b, c — числовые коэффициенты.

Виды квадратного уравнения

Квадратные уравнения могут быть полными, где все коэффициенты имеют числовые значения, и неполными, где второй коэффициент или свободный член равен нулю.

Если первый коэффициент равен 1, уравнение называется приведенным и может быть решено двумя способами. Если а>1, то решение только одно.

Способы нахождения корней квадратного уравнения

Стандартный способ определения корней уравнения — через дискриминант. Этот метод работает со всеми квадратными уравнениями, независимо от типа и коэффициентов. Если перед нами квадратное уравнение, мы можем воспользоваться теоремой Виета. Это требует некоторого опыта, но при некоторой сноровке уравнение можно решить в несколько раз быстрее.

Используя теорему Виета, вы сможете не отвлекаться на промежуточные вычисления в задачах и простых примерах, продолжая при этом решать дальше.

Теорема Виета

Теорема Виеты утверждает, что если $x_1 и x_2$ — корни квадратного уравнения, то их сумма равна –в, а их произведение равно с. Это не совсем то, что нужно для решения, а наоборот, теорема утверждает, что если сумма двух чисел равна -b, а произведение равно c, то эти числа являются корнями уравнения.

Приведем пример и решим данное полное квадратное уравнение стандартной формы.

$$x^2+3x-10=0 $$ — приведенное уравнение, а это значит, что мы будем использовать теорему, обратную теореме Виета.

$$x_1+x_2=-3$

$$x_1*x_2=-10$

Произведение чисел отрицательно, то есть один из корней отрицателен. При этом отрицательный корень больше положительного корня на 3, так как результат сложения отрицательный. Начнем поиск и нахождение корней квадратного уравнения для этого примера. Предположим, что один из корней равен 3, тогда:

$$3-6=-3$

$$3*(-6)=-18$$ — не совпало.

Давайте попробуем 2:

$$2-5=-3$

$$2*(-5)=-10$

Вот как уравнение решается с использованием чистой мощности. Чем больше решенных примеров, тем быстрее выбор. Но неопытный ученик может потратить на решение таким способом очень долго. Поэтому на зачетах и ​​экзаменах, если вы не уверены в себе, лучше использовать стандартный метод расчета.

Дискриминант

Дискриминант – это число, характеризующее уравнение. Корнями квадратного уравнения являются:

$$x_1= \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}, x_1= \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$,

В этом случае дискриминант равен:

$$D=b^2-4ac$

Помните, что дискриминант может быть равен 0 и быть отрицательным. Но в первом случае корни разрушаются, а во втором настоящих корней нет.