Рациональные уравнения — еще один способ запутать учащихся. Их очень часто путают с иррациональными и дробными, поэтому и путают в теории. Рассмотрим подробно каждый вид уравнений: рациональное, дробно-рациональное и иррациональное.
Что такое рациональное уравнение?
Рациональное уравнение или рациональное выражение в математике – это выражение, не содержащее радикальных знаков или, проще говоря, корней. Любое выражение, имеющее корень, считается иррациональным.
Таким образом, все уравнения делятся на две большие части. Рациональными уравнениями считаются уже известные линейные уравнения, степенные уравнения, в том числе квадратные, а также дробные уравнения.
Каждый из подвидов решается по-разному. Линейные уравнения решаются переносом множителей из одной части уравнения в другую, квадратные — с помощью дискриминанта, по теореме Виета, или переносом общих множителей, если уравнение неполное.
Проще всего решить уравнение мощности графически:
- Левая часть равна y. Это создаст функцию.
- Нарисуйте функцию в диапазоне x, который включает желаемое значение.
- Затем найдите значение x со значением y=0. Это будет корень уравнения.
Часто этот метод является единственно возможным при решении степенных уравнений, хотя и не так точен, как алгебраический метод.
Алгебраическим методом решения уравнений называется решение при помощи алгебраических преобразований.
Иррациональные уравнения
Что такое иррациональные уравнения? Это уравнения, содержащие выражения под квадратным корнем любой степени. Для этих уравнений необходимо выполнить проверку и ввести функцию ОДЗ.
ОДЗ – это интервал значений, которые может принимать х.
Для радикальных выражений четных степеней ОДЗ это значения от 0 до плюс бесконечности. Эквивалентно записи неравенства $x>=0$
Приведем пример простейшего иррационального уравнения.
$$\sqrt{3х}=7$
$$ОДЗ: 3х>0$
$$x>0$
$$\sqrt{3х}=7$
$$3х=49$
$x={49\over3}$ – вот и все решение. Иногда для решения иррациональных уравнений прибегают и к графическому методу.
Дробно-рациональные уравнения
Дробные рациональные уравнения – это уравнения, содержащие дроби. Деление можно назвать условным, так как обычно после пары преобразований уравнения сводятся к линейным или степенным уравнениям, но бывают исключения.
В любом случае ОДЗ также важна для такого типа рационального уравнения.
Каково ОДЗ дробей? Оно должно включать единственное условие существования дроби: знаменатель не должен равняться нулю.
В частности, для проверки возможности существования какого-либо корня чертят координатную линию и на ней отрезками отмечают ОДЗ и полученные корни. Если корни не включены в ОДЗ, они исключаются из раствора.
Что мы узнали?
Мы дали определение рациональным уравнениям, выделили подвиды рациональных уравнений и рассказали о возможностях их решения. Отдельно мы рассказали об иррациональных уравнениях и дробно-рациональных уравнениях, отметили необходимость ОДЗ в некоторых типах уравнений и привели небольшой пример.
Комментирование закрыто