Линейные уравнения — это первый шаг к изучению большого количества различных уравнений. Именно в этом предмете студенты изучают наиболее важные методы принятия решений. Чтобы не упустить ни одной детали курса математики шестого класса, давайте рассмотрим проблему подробнее.

Что такое уравнение?

В общем случае уравнение — это тождество с неизвестным.

Тождеством зовется равенство. То есть уравнение это два равных между собой выражения, одно из которых или оба содержат неизвестное. Важным является условие присутствия только одной неизвестной в одном уравнении.

Можно написать уравнение с двумя и более переменными, но такое выражение невозможно решить. Помните, что даже в системах уравнений количество переменных должно равняться количеству уравнений. Например система:

х+3=2

у+х=3

Z+y=4 – имеет решение. И вот уравнение:

X+y=12 – не имеет однозначного решения. Почему? Решение — это строго определенное число, удовлетворяющее требованиям равенства. Это:

Х+3=5

Неизвестное имеет только одно решение. Уравнение x+y=12 имеет бесконечное количество решений. Число x может быть любым, как только мы выберем и заменим любое число, оно изменится в соответствии с нашим выбором и y. Вот почему говорят, что такое уравнение не имеет надежных решений.

Виды уравнений

Различают следующие типы уравнений:

  • Линейный. Уравнения с 1 неизвестной в первой степени.
  • Мощный. Это выражения с переменными любой степени. Вы должны понимать, что радикальные выражения тоже преобразуются в степени. Поэтому радикальные и степенные уравнения решаются по схожим правилам.
  • Дробно-рациональный. Любые дробные уравнения, имеющие переменную в знаменателе. Дроби, у которых нет переменной в знаменателе, не считаются дробными уравнениями.
  • Логарифмический. Уравнения с неизвестными под знаком логарифма
  • Дифференциальный и интегрированный. Уравнения с производными и интегралами.

Выделяют так же системы уравнений, где несколько тождеств имеют одинаковые значения переменных. В таких уравнениях часто используют способ подстановки, заменяя одну переменную другой.

Способы решения линейного уравнения

Любое уравнение можно решить двумя способами:

  • Аналитический, то есть с использованием математических расчетов. Этот метод хорош своей точностью
  • Графически, то есть с помощью построения изображения на графике. Этот метод хорош тем, что его можно использовать практически в любой ситуации. К нему прибегают, когда невозможно найти корень с помощью вычислений.

Рассмотрим каждый из способов.

Графический способ

Чтобы понять графический метод, нужно вспомнить, что такое функция. Функция – это зависимость одной переменной от другой. Выражение, которое мы записали вначале: x+y=12 — это всего лишь функция. Переместим x в левую часть выражения и запишем функцию в классической форме.

y=12-x – функция принимает вид линии, отсюда и название функции и соответствующего уравнения. Значение корня любого уравнения — это одна или несколько точек на графике функции. Эти точки задаются пересечением с графиком другой функции.

Например, уравнение x+7=13 можно разбить на две функции:

у=х+7

y=13 – в первом случае это прямая линия. Во втором — прямая линия, проходящая параллельно оси Oy через точку 13 на оси Ox. Точка пересечения двух графиков и будет решением уравнения.

Аналитический способ

Аналитический метод решения линейных уравнений предполагает перенос величин из одной части выражения в другую с изменением знака. Смысл транспонирования состоит в том, чтобы поместить все неизвестные в одну сторону уравнения, а все числа — в другую.

Приведем пример линейного уравнения: 2x-7x+15=0

2x-7x+15=0 – сложите все значения x справа и числа слева

2x-7x=-15

-5x=-15 – теперь разделим обе части выражения на коэффициент при неизвестном, т.е на число -5

х=3

Что мы узнали?

Мы говорили о типах уравнений. Мы рассмотрели, какие уравнения невозможно решить, и дали объяснение. Мы выделили и проанализировали на примерах два метода решения линейных уравнений.