Квадратные уравнения являются следующим шагом после линейных. Они позволяют изучать квадратичные зависимости и графики квадратичных функций. Решение квадратных уравнений очень распространено в физике, особенно в радиотехнике.

Что такое квадратное уравнение

Что такое уравнение? Уравнение – это тождество, в котором один из членов неизвестен. Вся суть в том, что это неизвестное может находиться в степени, под знаком корня, дифференциале или в знаменателе дроби, и это еще не все факторы.

Эти обстоятельства существенно усложняют решение уравнений. Более конкретно, квадратное уравнение — это уравнение вида:

$$a^2*x+b*x+c=0 $

где a, b, c — числовые коэффициенты. То есть a, b, c — определенные числа.

$$3*x^2+5x+7=0$

Если уравнение равно не нулю, а другому числу или другому уравнению, то это все тоже квадратное уравнение, которое просто нужно привести в стандартный вид.

Вот пример такого уравнения:

$$3*х^2+5х+7=85+7х$

Давайте переместим выражение из правой части выражения в левую. Что произойдет, если удалить все числа из выражения? Правильно, оно будет равно нулю. Для лучшего понимания опишем трансформацию подробно.

$$3*х^2+5х+7=85+7х$

вычтите выражение (85+7x) из обеих частей уравнения

$$3*x^2+5x+7-(85+7x)=85+7x-(85+7x)$

$$3*x^2+5x+7-85-7x=85+7x-85-7x$$ — дадим термины.

$$3*x^2+2x-78=0$$ – уравнение такого типа уже можно решить.

Сколько корней имеет квадратное уравнение

Для любого степенного уравнения существует простое и эффективное правило: количество корней равно наибольшей степени в уравнении.

Почему только в степенных уравнениях количество корней равно степени члена? Поясним на примере рациональных уравнений. В рациональных уравнениях неизвестная стоит под знаком корня, то есть высшая степень может оказаться равной $1\over2$. И в уравнении не может быть полубеспорядка. В дифференциальных уравнениях решением всегда является набор чисел, независимо от высшей степени и т д. Каждая группа уравнений имеет свои свойства, которые необходимо учитывать

Ну а поскольку в квадратном уравнении старшая степень – квадрат, то и корней будет два. В учебниках сказано, что квадратное уравнение может иметь 1, 2 корня или вообще не иметь корней. Это не совсем правда.

Корней у квадратного уравнения всегда два. Просто они могут совпасть, тогда создается видимость одного корня. В ситуации, когда корней нет, они на самом деле есть, просто находятся среди чисел, которые в 6 классе не изучают – комплексных.

Виды квадратных уравнений

Квадратные уравнения имеют всего 2 типа: полные и неполные. Неполные квадратные уравнения, в которых числа i или c равны нулю. Заметим, что если а равно нулю, то уравнение не квадратное, а линейное. Необходимо различать виды квадратных уравнений, чтобы выбрать наиболее оптимальное решение. Например, в учебниках математики создают таблицы с быстрыми решениями неполных уравнений.

Чтобы избежать путаницы, коэффициенты были названы в соответствии с порядком в уравнении:

  • а-первый коэффициент
  • c-секундный коэффициент
  • c-свободный член в уравнении.

Кстати, возможна ситуация, когда и in и c равны нулю. Такое уравнение также будем считать квадратным.

Что мы узнали?

Мы дали определение квадратному уравнению, назвали его коэффициент, определили общий вид квадратного уравнения и привели конкретные примеры квадратных уравнений. Мы поговорили о том, сколько корней имеют такие уравнения, и обсудили распространенное заблуждение о количестве корней в уравнении. Мы решили, что уравнение, коэффициент которого а равен 0, нельзя считать квадратным.