Алгебраические выражения начинают изучать в 7 классе. Они обладают рядом свойств и используются для решения задач. Давайте изучим эту тему подробнее и рассмотрим примеры решения задачи.

Определение понятия

Какие выражения называются алгебраическими? Это математическая запись, состоящая из цифр, букв и арифметических символов. Наличие букв – главное отличие числовых выражений от алгебраических. Примеры:

  • 4а+5;
  • 6б – 8;
  • 5с: 6*(8+5).

Буква в алгебраических выражениях обозначает число. Поэтому оно и называется переменной — в первом примере это буква а, во втором — б, в третьем — с. Само алгебраическое выражение еще называют выражением с переменной.

Значение выражения

Значением алгебраического выражения является число, полученное в результате выполнения всех арифметических действий, указанных в этом выражении. Но чтобы это произошло, буквы необходимо заменить цифрами. Поэтому в примерах всегда указывают, какой цифре соответствует буква. Рассмотрим, как найти значение выражения 8а – 14 * (5 – а), если а = 3.

Заменим цифру 3 на букву А. Получим следующую запись: 8*3 – 14*(5 – 3).

Как и в числовых выражениях, решение алгебраического выражения производится по правилам выполнения арифметических действий. Давайте решим все по порядку.

  • 5 – 3 = 2.
  • 8*3=24.
  • 14*2=28.
  • 24 – 28 = – 4.

Таким образом значение выражения 8a – 14 * (5 – a) при a = 3 равно -4.

Значение переменной называют допустимым, если при нем выражение имеет смысл, то есть возможно найти его решение.

Примером допустимой переменной для выражения 5: (2а) является число 1. Подставив его в выражение, получим 5: (2*1) = 2,5. Недопустимая переменная для этого выражения — 0. Если мы подставим в выражение ноль, то получим 5:(2*0), то есть 5:0. Делить на ноль нельзя, а значит выражение не имеет смысла.

Тождественные выражения

Если два выражения равны по некоторым значениям составляющих их переменных, они называются тождественными.
Пример идентичных выражений:
4 (а+в) и 4а+4в.
Независимо от значений букв а и с выражения всегда будут одинаковыми. Любое выражение можно заменить другим, идентичным ему. Этот процесс называется трансформацией идентичности.

Пример трансформации личности.
4*(5a+14c) – это выражение можно заменить на идентичное, используя математический закон умножения. Чтобы умножить число на сумму двух чисел, необходимо умножить это число на каждое слагаемое и сложить результаты.

  • 4*5а=20а.
  • 4*14 п = 56 п.
  • 20а + 56в.

Таким образом выражение 4*(5a+14c) идентично 20a+56c.

Число, стоящее в алгебраическом выражении перед буквенной переменной, называется коэффициентом. Коэффициент и переменная – это множители.

Решение задач

Алгебраические выражения используются для решения задач и уравнений.
Давайте рассмотрим проблему. Петя придумал число. Чтобы одноклассник Саша угадал, Петя сказал ему: сначала я прибавил к числу 7, затем вычел из него 5 и умножил на 2. В результате у меня получилось число 28. Какое число я имел в виду?

Для решения проблемы необходимо ввести скрытый номер с буквой а, а затем выполнить с ним все указанные действия.

  • а + 7.
  • (а + 7) – 5.
  • ((а + 7) – 5) * 2 = 28.

Теперь решим полученное уравнение.

а + 7 – 5 = а + 2

(а + 2) * 2 = 2а + 4

2а + 4 = 28

2а = 28 – 4

2а = 24

а = 12.

Петя подумал о числе 12.

Что мы узнали?

Алгебраическое выражение — это запись, состоящая из букв, цифр и арифметических символов. Каждое выражение имеет значение, которое находится путем выполнения всех арифметических операций в выражении. Буква в алгебраическом выражении называется переменной, а число перед ней — коэффициентом. Алгебраические выражения используются для решения задач.