Сочетательный закон сложения

Многие ученики путают понятия сочетательного закона сложения и сочетательного свойства сложения. Насколько это допустимо и как не путаться – разберемся вместе.

Сумма чисел

Сначала вспомним, что такое сумма чисел. Если два числа разбить на единицы, а потом все эти единицы свести в одно число, то получится сумма. Примерно так объясняют сумму в младших классах, иногда приводя примеры на сложение фруктов, конфет или канцелярских принадлежностей.

Такие объяснения правильны, но они не подходят для курса средней школы. Чем старше ученик, тем более глубокое и емкое определение ему нужно знать.

Поэтому в математике старших классов используют другое определение. Сумма это движение числа по числовой прямой вправо. На самом деле, число может двигаться и влево, при сложении отрицательных чисел. Но принято говорить «вправо», поскольку такие суммы сначала преобразовываются в разность

Законы сложения

Законов сложения всего два. Это сочетательный и переместительный. Сочетательный закон гласит, если в примере есть несколько слагаемых, то можно сложить два из них между собой, а потом к результату прибавить оставшееся слагаемое. Таким образом, можно складывать сколько угодно большие выражения. Применение этого свойства основано на сочетании слагаемых, откуда и взято это название.

Переместительный закон имеет следующую формулировку: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Вне зависимости от того, как расположены слагаемые в примере, итоговое значение не изменится. Если подумать, то это логично. Какая разница, высыпать в корзину 10 фруктов, а потом еще 8 или сначала 8, а потом 10. Разве количество фруктов в корзине от этого изменится? Конечно, нет.

Свойства сложения – это проявление простейшей логики в математике. Они доказывались опытным путем еще математиками Древней Греции. На сегодняшний день кажется невозможным не использовать их, поэтому свойства нужны скорее не для использования и запоминания, а для теоретического подтверждения того, что все и так знают. Ведь всеобщее знание – это не аргумент. в математике всегда нужно ссылаться на какие-то законы, аксиомы и теоремы, чтобы доказать правильность решения. При этом свойство и закон сложения – это одно и то же. Никакой разницы между ними нет.

Сочетательный закон

Сочетательный закон интересен тем, что может значительно ускорить выполнение сложения. Рассмотрим некоторые принципы быстрого счета, основанные на сочетательном законе.

  • Проще всего человеку складывать десятки. Поэтому при сложении чисел, нужно в первую очередь группировать слагаемые, которые в сумме дадут десятки без единиц, то есть 10, 20, 30 и так далее. Это значительно упростит задачу. Например:

13+28+15+17+2=(13+17)+(28+2)+15=30+30+15=60+15=75

  • Есть числа, которые складывать человеку тяжело в силу особенностей мышлений. Поэтому выполнения множества примеров направлено на то, чтобы значение сумм некоторых чисел запоминалось и выдавалось на автомате, как таблица умножения. Наиболее яркие примеры:

7+8=15

5+7=12

8+3=11

5+8=13

  • По аналогии с десятками, дроби нужно группировать так, чтобы получались единицы. В первую очередь складываются дроби с одинаковыми знаменателями и с знаменателями, к которым можно быстро найти НОК. После этого ищутся и группируются дроби, которые в сумме дают целое число. Это касается как обыкновенных, так и десятичных дробей:

3,72-5+5,28+17,8+9,2 – иногда проще разделить целые и дробные части дробей, чтобы ускорить счет.

3,72-5+5,28+17,8+9,2=3+0,72-5+5+0,28+17+0,8+9+0,2=(3+5-5+17+9)+(0,72+0,28)+(0,8+0,2)=(3+17+9)+1+1=20+9+2=29+2=31

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое сумма. Узнали о двух основных свойствах сложения и выделили правило сочетательного закона сложения. Привели несколько способов быстрого счета, основанных на сочетательном законе сложения. Рассмотрели несколько простых примеров.