Сложение чисел с разными знаками

Числа с разными знаками хорошо известны нам из повседневной жизни. Например, мы знаем, что температура воздуха на улице может быть как положительной, так и отрицательной. Поэтому нужно научиться производить арифметические операции с этими числами.

Понятие координатной прямой

Рассмотрим, как отображаются числа с разными знаками на числовой оси.

Рассмотрим горизонтальную прямую. Выберем на ней какую-либо точку и обозначим ее буквой О. Она будет соответствовать числу 0. Назовем эту точку началом отсчета.

Точка О разделила прямую на 3 луча. Назовем их ОА и ОВ. Отметим на луче ОА точку М, которая будет отображением числа 1. Тогда длина отрезка ОМ будет равна единице. Отрезок, длина которого равна единице, называют единичным.

Теперь на луче ОА можно отобразить все положительные числа, а на луче ОВ – отрицательные.

Укажем на прямой положительное направление стрелкой.

Прямая, на которой выбрано начало отсчета, единичный отрезок и направление, называется координатной прямой.

Модуль числа

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, которая отображает число на координатной прямой.

Пример

Изобразим на координатной прямой числа 3 и -3. Точки, отображающие эти числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала координат. Это расстояние равно 3. Значит, модули чисел 3 и -3 одинаковы и равны 3.

Противоположные числа

Из рассмотренного примера понятно, что справедливо следующее правило:

модуль положительного числа равен самому этому числу, а модуль отрицательного числа – числу, взятому с противоположным знаком.

Пусть дано некоторое число a. Число -a называется противоположным числу a. На рис. 2 показано изображение двух противоположных чисел на координатной прямой.

Теперь, пользуясь определением противоположного числа, мы можем сказать, что модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному.

Сложение чисел с разными знаками

Рассмотрим термометр, который показывает температуру -3°С (рис. 3). Предположим, что температура повысилась на 4°С. Из рис. 3 понятно, что температура станет равна 1°С. Это означает, что сумма чисел -3 и 4 равна 1.

Рассмотрев несколько аналогичных примеров, мы сможем сформулировать правило сложения чисел с разными знаками.

Чтобы сложить два числа с разными знаками нужно:

• найти модули этих чисел;
• из большего модуля вычесть меньший;
• полученной разности приписать знак слагаемого с большим модулем.

Применим это правило для решения задач из примера.

Пример

Найдем сумму чисел -8 и 2.

• модуль первого числа равен 8, а модуль второго числа – 2;
• находим разность, вычитая из большего модуля меньший: ${8 – 2} = {6}$;
• слагаемое с большим модулем имеет знак « – », поэтому ${-8 + 2} = {-6}$.

Вычислим теперь сумму чисел -2 и 8. Пункты 1) и 2) уже выполнены при решении предыдущей задачи. Начиная с пункта 3), получаем слагаемое с большим модулем имеет знак « + », поэтому ${-2 + 8} = {6}$.