Признаки делимости

Критерии делимости чисел трудно применять, так как их довольно много. Но знание таких знаков существенно экономит время, так как позволяет без деления узнать, делится ли одно число на другое или нет. Давайте рассмотрим тему более подробно.

Что такое делимость?

Тесты на делимость позволяют быстро и легко узнать, можно ли полностью разделить одно число на другое. А делимость – это способность делить одно число на другое без остатка.

Признаки делимости

Знаки делимости удобнее изучать, разделив возможные делители на группы. Поступим так же и рассмотрим делимость в каждой из групп отдельно.

На 2,4,8

Эти фигуры сгруппированы в рассматриваемом вопросе, так как их характеристики очень похожи друг на друга.

  • Число делится на 2 только в том случае, если оно четное.
  • Число делится на 4, если две последние цифры числа делятся на 4 или две последние цифры 00. Например, число 130 не делится на 4, так как 30 не делится на 4. А вот число 1400 делится на 4.
  • Число делится на 8, если две последние цифры числа равны нулю или делятся на 8

На 3 и 9

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Рассмотрим число: 804. Оно делится на 3, так как сумма цифр 8+0+4=12 делится на 3.

Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9. Знак аналогичен знаку делимости на число 3.
Интересно: Если число делится на 9, то оно делится и на 3. Также число, которое делится на 3, не всегда делится на 9.

На 5

Число делится на 5, если последняя цифра в числе 5 или ноль. Это самый известный признак делимости, наряду с делимостью на 2.

На 6

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться и на 2, и на 3, поскольку 2*3=6. Следовательно, знак делимости на 6 представляет собой комбинацию знаков делимости на 2 и 3.

То есть: число делится на 6, если оно четное и сумма всех его цифр делится на 3

На 7

Сложнее всего воспринимаются знаки делимости на 7 и 11. Число делится на 7, если разность суммы четных цифр числа и нечетных цифр числа делится на 7.

Приведем пример: число 469 делится на 7. Почему? Сумма цифр в нечетных позициях равна 4+9=13. Сумма чисел в четных позициях равна 6. Разница между полученными суммами равна: 13-6 = 7, и это число делится на 7. Следовательно, целое число 469 делится на 7

На 10

Число делится на 10 только в том случае, если последняя цифра числа равна 0

По тому же принципу определяют делимость числа на 100, 1000 и так далее. Если у числа два нуля на конце, то оно делится на 100, если три нуля на конце, число делится на 1000 и так далее.

На 11

Число делится на 11 только в том случае, если разность суммы четных и нечетных чисел в этом числе делится на 11 или равна нулю. Приведем пример:

Число 2035 делится на 11. Сумма четных цифр: 2+3=5. Сумма нечетных чисел: 0+5=5. Разница в полученных выражениях: 5-5=0, что означает, что число делится на 11.

Нельзя путать понятия четной позиции и четного числа. Цифра это знак, который используется для записи чисел. Число это набор цифр, каждая из которых стоит на своей позиции. В числе 127 всего три цифры. Цифра 1 стоит на первой позиции, цифра 2 на второй и так далее. На четной позиции находится цифра 2. На нечетных позициях цифры 1 и 7.

Чтобы быстро запомнить все группы, можно свести их в таблицу со знаками делимости чисел.

Знак

Помнить

Проверка на делимость на 2

Число делится на 2, если последняя цифра делится на 2 или равна нулю.

Тест на делимость на 4

Число делится на 4, если две последние цифры равны нулю или образуют число, которое делится на 4.

Тест на делимость на 8

Число делится на 8, если последние три цифры равны нулю или образуют число, которое делится на 8.

Тест на делимость на 3

Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3.

Тест на делимость на 6

Число делится на 6, если оно делится и на 2, и на 3.

Тест на делимость на 9

Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.

Тест на делимость на 5

Число делится на 5, если последняя цифра 5 или 0.

Тест на делимость на 25

Число делится на 25, если его последние две цифры равны нулю или образуют число, которое делится на 25.

Проверка на делимость на 10, 100 и 1000.

на 10 делятся только те числа, последняя цифра которых равна нулю.

На 100 делятся только те числа, у которых две последние цифры равны нулю.

На 1000 делятся только те числа, последние три цифры которых равны нулю.

Тест на делимость на 11

Число делится на 11, если сумма цифр четного числа равна сумме цифр нечетного числа или отличается от суммы цифр 11.

Что мы узнали?

Мы говорили о признаках делимости. Все существующие свойства мы описали по группам. Были приведены примеры в особо сложных ситуациях.