Одним из направлений теоретической информатики является алгебра логики. Основы логической алгебры изучаются в школьном курсе информатики в 8 классе. Кратко об элементах логической алгебры вы можете прочитать в этой статье.
Элементы алгебры логики
Одной из отраслей теоретической информатики является алгебра логики. Некоторые элементы логической алгебры понятны уже на школьном уровне.
Первые элементы алгебры логики были описаны в 19 веке в работах английского математика Джорджа Буля. Он первый высказал мысль о связи логики с математикой.
Высказывания
Объектом изучения алгебры логики являются суждения, представляющие собой повествовательные предложения, которые можно однозначно оценить как истинные или ложные. Истинность высказывания отмечается единицей, ложность – нулем. Примером утверждения может служить предложение «Москва — столица Российской Федерации». Высказывания обычно обозначаются латинскими буквами.
Не все предложения, несущие ту или иную информацию можно назвать высказываниями. Например, вопросительные или побудительные предложения – это не высказывания. Также не являются высказываниями математические выражения с переменными.
Например, следующие предложения не являются утверждениями:
- Сколько весит слон?
- Летайте самолетами Аэрофлота!
- 5*х + 8*у = 24
- Этот фильм лучший.
Алгебра для логических исследований, методы работы с высказываниями.
Действия над высказываниями
Операторы как объекты могут быть операндами следующих логических операций
- Крест.
- Союз.
- Инверсия.
Логические операции наглядно объясняются кругами Эйлера или диаграммами Венна.
Пересечение
Перекрест — операция над высказываниями, в результате которой будет получено новое высказывание, истинное только в том случае, если исходные высказывания также истинны.
Например, для высказываний «В отпуск я поеду в Волгоград» и «Я проведу выходные с бабушкой» результатом операции перекрестия будет новое утверждение «В отпуск я поеду в Волгоград и проведу выходные с бабушкой», что верно только в том случае, если оба первых утверждения верны одновременно
Крест еще называют логическим умножением, конъюнкцией или логическим И.
Обозначается символами AND, & или ∩.
На диаграмме операция пересечения отображается как заштрихованная область, представляющая часть, общую для каждого операнда.
Объединение
Объединение – это операция над двумя операторами, в результате которой будет получено новое утверждение, которое является ложным в том случае, когда один из двух исходных операндов является ложным.
Например, для первых высказываний «В отпуск хочу поехать в Волгоград» и «В отпуск хочу поехать в Санкт-Петербург» результатом операции объединения будет утверждение «В отпуск хочу поехать в Волгоград» или в отпуск хочу поехать в Санкт-Петербург», что неверно только в том случае, если оба первых утверждения ложны. Если хотя бы одно из первых утверждений истинно, результат будет иметь значение «Верно».
Объединение еще называют логическим сложением, дизъюнкцией, логическим ИЛИ.
Для его обозначения используются следующие символы: ИЛИ, +, U.
На диаграмме Венна операция соединения представляет всю область, связанную как с первым, так и со вторым операндами.
Инверсия
Инверсия — это унарная логическая операция, предполагающая изменение значения на противоположное.
Например, высказывание «В отпуск хочу поехать в Волгоград» в обратной форме будет выглядеть так «В отпуск в Волгоград не хочу».
Инверсия обозначается знаками НЕ, ¬, ¯.
Инверсия на диаграмме Венна выглядит как область, не связанная с операндом.
Аксиомы алгебры логики
В математике это понятие является аксиомой – постулатом, не требующим доказательства.
В математической логике также существуют недоказанные утверждения о логических операциях над высказываниями.
Для объединения справедливы следующие аксиомы:
- А + 0 = А
- А + 1 = 1
- А + А = А
- А + НЕ(А) = 1
Для пересечений типичны следующие аксиомы:
- А & 0 = 0
- А & 1 = А
- А и А = А
- А И НЕ(А) = О
Для операции инверсии применяется аксиома двойного отрицания НЕ (НЕ(А)), когда путем двукратного инвертирования операнда получается само исходное значение.
Что мы узнали?
Алгебра логики стоит на стыке математики и информатики и образует теоретическую основу, на которой строятся методы работы с информацией. Объектом исследования в этом направлении являются высказывания. Основными логическими операциями являются пересечение, объединение и инверсия. В алгебре логики существует ряд аксиом.
Комментирование закрыто