При написании цифры заменяются специальными символами. Метод представления числовых эквивалентов с использованием специальной системы символов называется системой счисления. Системы счисления, как одна из важных частей теоретической информатики, подробно рассматриваются в курсе информатики 9 класса.

Что такое системы счисления

Система счисления – это система записи чисел с помощью знаков по определенным правилам.

Символы, которыми записываются числовые значения, обычно называются числами, а вместе знаки системы счисления составляют алфавит. Количество цифр, используемых для обозначения чисел, называется основой системы счисления.

Приведем примеры чисел в системах счисления с разными основаниями.

Основная десятичная система, известная и широко используемая, имеет десять символов для обозначения всех чисел, то есть основание равно 10. Символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 обозначают числа. После цифры 9 в числовом ряду идет двузначная 10. При этом числовая сетка смещается влево на одну цифру.

В десятичной системе используются арабские цифры. Считается, что арабская система счисления возникла в Индии. Индийскую систему записи чисел описал Аль Хорезми в своем трактате «Об индийском бухгалтерском учете».

Системы счисления

Рис. 1. Портрет Аль Хорезми.

Системы счисления в информатике не ограничиваются использованием десятичных цифр; наиболее распространенными системами счисления являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

В двоичной системе счисления все просто. Основа — 2. Обозначение чисел производится только двумя символами 0 и 1. А числовой ряд двоичных чисел выглядит так: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000 и так далее.

В восьмеричной системе для обозначения чисел используется 8 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. А числовой ряд восьмеричных чисел выглядит так: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 , 11, 12… Следует отметить, что после 7 стоит двузначное число 10, так как символов всего восемь и битовая сетка смещена.

Шестнадцатеричная система имеет основание 16. В качестве символов используются арабские цифры от 0 до 9, а затем буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F. В шестнадцатеричной числовой последовательности A идет после 9, а 10 идет после F.

Тогда возникает вопрос, как определить, в какой системе счисления, например число 107. Числа 0, 1, 7 используются как в восьмеричной, десятичной, так и в шестнадцатеричной системах счисления. Чтобы различать системы, существует специальный термин для систем счисления. Числа отмечены индексом с нижней частью системы. Итак, 1078 — восьмеричное число, 10710 — десятичное, 10716 — шестнадцатеричное.

в истории существуют примеры использования и других систем счисления. Так, некоторые коренные культуры Африки и Австралии используют двоичные и троичные системы. Индейцы Юки пользуются четверичной системой счисления, пятеричная система счисления распространена больше (по количеству пальцев на руке), ее элементы встречаются у древних персов и ацтеков, у индейцев племени Таманакос. У древних Шумеров использовалась шестидесятеричная система счисления, разбивка часа на 60 минут и минуты на 60 секунд, вероятно, отголоски этой системы.

Позиционные системы счисления

Рассмотренные системы счисления относятся к классу позиционных систем. В них числовое значение каждой цифры зависит от ее положения в числе. Например, в десятичном числе 126 единица означает сто, а в числе 216 единица уже находится в другом месте и означает десять.

Каждое число в позиционной системе счисления может быть представлено как в объединенном виде, например 126, так и в развернутом виде: 1*102 + 2*101 + 6*100, то есть 100 + 20 +6 =126.

Аналогично, двоичное число равно 111001 = 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20

Восьмеричное число: 247 = 2*82 + 4*81 + 7*80

Шестнадцатеричное число: 2A5F = 2*163 + A*162 + 5*161 + F*160

Используя расширенную форму, вы можете преобразовать числа из любой системы счисления в десятичную систему.

Непозиционные системы счисления

Помимо позиционных систем, существуют также непозиционные системы, в которых положение цифры в числе не влияет на его числовое значение. Например, римская система счисления основана на символах I, V, X, L, C, D, M, которые означают соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Таким образом, римская XVII означает 17. Получено суммируя 10+5+1+1.

Другой пример: число 14 пишется римскими цифрами как XIV. Здесь используются символы X, I и V, которые обозначают 10, 1 и 5. Правило состоит в том, что из него следует вычесть наименьшее число слева от большего. То есть I(1) меньше V(5), поэтому 5 – 1 = 4. И тогда число XIV оказывается 10 + (5 – 1) = 14

Например, 1985 год в римской системе выглядит так MCMLXXXV: 1000 + (1000 – 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 = 1985

Системы счисления

Рис. 2. Таблица римских цифр и их значения.

Самой первой системой счисления в истории человечества была унарная система, в которой использовался только один знак, или точнее один камень, палочка или засечка. Конечно, с помощью такой системы записать большие числа практически невозможно. Поэтому древние люди стали заменять группы палочек другим символом.

Системы счисления

Рис. 3. Унарная система счисления.

Что мы узнали?

Чтобы облегчить регистрацию, числа представлены с использованием системы символов, называемой системой счисления. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах количество используемых символов называется базовым. В информатике используются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления.