Все расчеты по математике производятся в позиционной десятичной системе счисления. Кратко о функциях десятичной системы вы можете прочитать в этой статье.

Что такое десятичная система счисления

В десятичной системе для обозначения чисел используются десять арабских цифр от 0 до 9; следовательно, основанием десятичной системы счисления является число 10.

Историки, изучающие культуру древнего востока, в Индии обнаружили плиту с начертанием числа в позиционной десятичной системе. Возраст найденного артефакта составляет порядка 1,5 тысяч лет. Здесь же в древней Индии впервые используется ноль, как самостоятельная цифра.

Десятичная система счисления

Рис. 1. Индийские цифры, развитие индийских цифр.

Развернутая форма представления десятичного числа

Важным понятием позиционного подхода к представлению чисел является понятие цифры. Есть единицы, цифры, десятки, сотни, тысячи и так далее. Любое десятичное число можно представить в так называемой расширенной форме, когда число записывается в виде суммы цифр, представленной как произведение значащей цифры в цифре и числа десять в степени соответствующей цифры.

Например, расширенное десятичное число 46758 будет выглядеть так:

46758 = 4 * 10^4 + 6 * 10^3 + 7 * 10^2 + 5 * 10^1 + 8 * 10^0

Или вот так:

46758 = 4 * 10 000 + 6 * 1000 + 7 * 100 + 5 * 10 + 8 * 1

Прямой перевод числа из десятичной системы

Преобразование целого десятичного числа в любую систему счисления производится путем поочередного деления самого числового значения, а затем полученных частных на основание системы счисления, в которую производится преобразование.

Например, чтобы преобразовать десятичное число в двоичное, разделите его на два, восьмеричное на восемь и шестнадцатеричное на шестнадцать. В принципе, десятичное число можно преобразовать как в пятеричную, так и в септальную систему путем деления на пять или семь.

После выполнения первого шага деления, скажем, на два, остаток запоминается, и полученное частное снова делится на базовое число. Эта операция выполняется до тех пор, пока последнее частное не станет меньше или равно делителю.

Записывать сформированное число в новой системе счисления необходимо начиная с итогового частного и затем друг за другом выписывая остатки от деления от последнего к первому.

Например, прямой перевод числа 27 из десятичной системы в двоичную выполняется следующим образом:

27/2 = 13 и остаток 1

13/2 = 6 и остаток 1

6/2 = 3 и остаток 0

3/2 = 1 и остаток 1

Итак, 27 в двоичном формате равно 11011.

Для преобразования чисел внутри можно использовать таблицу соответствия между десятичными и двоичными числами

Десятичная система счисления

Рис. 2. Таблица соответствия двоичных и десятичных чисел.

Обратный перевод числа в десятичную систему

Для перевода чисел в десятичную систему удобно использовать развернутую форму. При этом числовые значения записываются как сумма произведений цифр на цифры исходя из текущей системы счисления в степени цифры.

Например, двоичное число 11011 можно представить следующим образом:

1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 27

Для упрощения расчетов удобно использовать мощность двух таблиц

Десятичная система счисления

Рис. 3 две силы.

Что мы узнали?

В десятичной системе позиций используются десять арабских цифр для представления числовых значений. Числа в такой системе можно представить в расширенном виде. Преобразование десятичных чисел в другую систему осуществляется путем поочередного деления на основание новой системы счисления. Обратный перевод удобно выполнять, используя развернутую форму для записи числа.