Дробно-рациональные уравнения

Дробные рациональные уравнения – первый предмет уравнений в школьной программе, где действительно необходимо вводить ОДЗ. Справедливости ради надо сказать, что навык написания ОДЗ любого уравнения – полезный навык, но есть ряд уравнений, решить которые без него совершенно невозможно. Поэтому такие уравнения представляют определенную сложность.

Что такое дробно-рацональное уравнение

Дробное уравнение — это любое уравнение, в левой или правой части которого есть дробь.

решение дробно-рациональных уравнений обычно сводится к решению линейных уравнений или степенных уравнений. Поэтому, прежде чем перейти к этой теме, вам необходимо повторить навыки решения этих уравнений.

Область допустимых значений

Каков диапазон допустимых значений? Чтобы понять это, стоит вспомнить понятие функции. Функция представляет собой зависимость одной переменной от другой. В общем, это зависимость переменной y от переменной x. Записывается так: $y=F(x)$.

Диапазон допустимых значений — это некоторые отдельные значения или интервалы значений х, в которых не может существовать у. Именно уравнения рациональных дробей являются простейшим примером для изучения ОДЗ.

В уравнениях рациональных дробей x не должен принимать значения, делающие знаменатель нулевым, так как тогда значение функции не будет существовать среди действительных чисел. Самое главное, что нужно помнить, — среди действительных чисел не будет никаких значений, так как в высшей математике число делится на ноль. Но пока стоит исключить корни, обращающие знаменатель в ноль.

Алгоритм решения

Алгоритм решения таких уравнений достаточно прост. Для лучшего понимания рассмотрим алгоритм на примере уравнения рациональной дроби:

$${{x+2}\over{x^2-2x}}-{x\over{x-2}}={3\over{x}}$

• Первым шагом в решении является поиск общего знаменателя.

Рассмотрим знаменатель первой дроби. Выделим общий делитель х.

$(x^2-2x)=x(x-2)$ – это выражение содержит как знаменатель второй дроби, так и знаменатель дроби в правой части уравнения. Это означает, что данное выражение будет общим знаменателем. Если сходства нет, самым простым решением будет перемножить знаменатели.

• Найдя общий знаменатель, приводим к нему все дроби и записываем выражение под одну строчку.

$${{x+2}\over{x^2-2x}}-{x\over{x-2}}={3\over{x}}$

$${{x+2}\over{x(x-2)}}-{x\over{x-2}}={3\over{x}}$

$${{x+2}\over{x(x-2)}}-{x\over{x-2}}- {3\over{x}} =0$

$${{x+2}\over{x(x-2)}}-{x*x\over{(x-2)*x}}- {3*(x-2)\over{x(x-2)}}=0$

$${(x+2-x^2-3(x-2))\over{x(x-2)}}=0$

• Теперь вам предстоит войти в ДЗ. Скобки в знаменателе специально не раскрывались, поскольку так легче ввести диапазон допустимых значений. Общий знаменатель не должен быть равен нулю.

$$x(x-2)=0$

$$х_1=0$

$$х_2=2$

То есть корни не должны быть равны 0 и 2.

• После введения ОДЗ можно смело приравнять числитель к нулю и найти корни уравнения. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Это принцип, который вы должны помнить при решении квадратных уравнений.

$x+2-x^2-3(x-2)=0$ — перед нами самое обычное квадратное уравнение. Приведем ее к общему виду и решим, используя теорему Виета.

$$x+2-x^2-3(x-2)=0$

$$х+2-х^2-3x+6=0$

$$-x^2-2x+8=0$

Умножьте уравнение на (-1)

$$x^2+2x-8=0$

Согласно обратной теореме Виеты:

$$х_1+х_2=-2$

$$х_1*х_2=-8$

$$х_1=2$

$$х_2=-4$

• Вернемся к ОДЗ. Из найденных корней 2 использовать нельзя, а значит $x=2$