Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения – это число, характеризующее уравнение, но ничто в математике не возникает из ничего. Дискриминант также был получен в результате длительного вывода. Давайте рассмотрим этот вывод, чтобы лучше понять тему квадратных уравнений.

Вывод дискриминанта

Вывод дискриминанта будем выполнять поэтапно. Сначала запомните общую формулу квадратного уравнения. Именно с ней нам и предстоит работать.

• $ax^2+bx+c=0$ — избавимся от коэффициента при неизвестном высшей степени, разделив все выражение на a.
• $x^2+{b\over{a}}x+{c\over{a}}=0$ – для успешного вывода необходимо выполнить некоторые специфические манипуляции. Итак, на этом этапе нам нужно умножить числитель и знаменатель скобки ${b\over{a}}$ на 2, а также добавить скобку $({b^2\over{4a^2}}- {b ^2\ над{4a^2}})$. Скобка в результате приведения общих делителей даст 0, поэтому смысл выражения не изменится. Именно этот факт дает нам право вводить новых членов.
• $x^2+{{2b}\over{2а}}*x+{{b^2}\over{4a^2}}- {{b^2}\over{4a^2}} +{c\ over{а}}=0$ – Сгруппируем $x^2+({2b\over{2а}})x+({b^2\over{4a^2}})$ в одну часть уравнения, если вы заметили, тогда вы можете заметить формулу квадрата суммы, где первое слагаемое — это x, а второе — $b\over{2a}$. Именно для создания этой формулы были добавлены дополнительные термины. Остальные члены перенесем в правую часть уравнения.
• $(x+{b\over{2a}})^2=({b^2\over{4a^2}}-{c\over{а}})$ – в правой части приводим дроби под тем же знаменателем.
• $(x+{b\over{2a}})^2={{b^2-4a*c}\over{4a^2}}$ – именно числитель справа и будет загадочным дискриминантом.
• $D= b^2-4a*c$
• $(x+{b\over{2a}})^2={D\over{4a^2}}$
• Возьмем корни полученного выражения.

$$x+{b\over{2a}}={{D}\over{2a}}$

$$x= {D\over{2a}}- {b\over{2a}}$

$$x={{Db}\over{2a}}$

Если под корнем стоит отрицательное выражение, конечный результат нужно записать с минусом:

$$x={{-(Db)}\over{2a}}$

Так получается всем знакомая формула корней квадратного уравнения.

Ограничения, связанные с дискриминантом

Укажем, откуда берется деление уравнений на число действительных корней, связанных с дискриминантом.

Учтем эту скобку, возникшую в результате преобразований:

$$(x+{b\over{2a}})^2=({D\over{4a}})^2$

В этом случае, если дискриминант является отрицательным числом, все выражение в правой части будет отрицательным, а квадрат числа будет равен отрицательному значению. В области действительных чисел это невозможно. Следовательно, если дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Если дискриминант равен 0, вся дробь в правой части станет нулевой, и уравнение будет иметь два одинаковых корня:

$$(x+{b\over{2a}})^2={D\over{4a}}^2$

$$(x+{b\over{2a}})^2=0$

$$x+{b\over{2a}}=0$

$$x=-{b\over{2a}}$