Уравнение состояния идеального газа

Идеальный газ – это теоретическая модель газа, хорошо описывающая поведение реальных газов при невысоких давлениях и температурах. Для описания его макроскопических параметров (температуры, давления и объема) используется специальное соотношение, называемое уравнением состояния. Рассмотрим его подробнее.

Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории, если концентрация молекул газа (количество в единице объема) равно $n$, масса одной молекулы $m_0$, а ее среднеквадратичная скорость $\overline {v^2}$, то давление такого газа равно:

$$p={1\over 3}nm_0\overline {v^2},$$

Поскольку молекулы газа считаются материальными точками, то средняя кинетическая энергия движущейся молекулы равна:

$$\overline E = {m_0\overline {v^2}\over 2}$$

Выразим из этого соотношения массу молекулы, и подставим в предыдущее. Получим:

$$p={2\over 3}n\overline E$$

Средняя энергия молекулы в молекулярно-кинетической теории связана с температурой газа через постоянную Больцмана ($k=1,38×10^{-23}Дж/К$):

$$\overline E = {3\over 2}kT$$

Подставив эту среднюю энергию в предыдущее выражение, получим:

$$p = nkT$$

Наконец, выразим концентрацию молекул как отношение их количества к объему ($n={N\over V}$). В итоге получим:

$$p = {N\over V}kT$$

Или:

$${pV\over T} = Nk = const$$

Данное соотношение было впервые получено и практически доказано в 1834г. Б. Клапейроном, поэтому оно носит название «уравнение Клапейрона».

Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Клапейрона хорошо описывает изменение в газовых процессах макроскопических параметров некоторого количества газа. Однако, заранее сказать, какими будут эти параметры для конкретной массы некоторого конкретного газа, нельзя. Константа, присутствующая в уравнении Клапейрона должна вычисляться каждый раз заново.

В 1874 г Д. Менделеев сделал вывод, что эта константа прямо пропорциональная количеству вещества газа, то есть отношению общей массы газа $m$ к его молярной массе $М$:

$${pV\over T} thicksim nu= {m\over M}$$

А поскольку один моль любого газа в одинаковых условиях занимает один и тот же объем, можно ввести специальный коэффициент, $R=8.31 {Дж \over моль × К}$. С этим коэффициентом уравнение состояния идеального газа получит вид:

$${pV\over T} ={m\over M}R$$

Значение температуры чаще всего переносят в правую часть формулы. Окончательно имеем:

$$pV ={m\over M}RT$$

Уравнение состояния идеального газа в таком виде называется уравнением Менделеева-Клапейрона. Данное уравнение связывает макроскопические параметры газа с его физическими параметрами.

Постоянная R, присутствующая в уравнении, называется универсальной газовой постоянной. Она равна произведению числа Авогадро на постоянную Больцмана, и представляет количество тепла, которое необходимо сообщить одному молю газа для увеличения его температуры на один кельвин.

Уравнение состояния для смеси газов

Уравнение состояния идеального газа описывает макроскопические параметры конкретного газа. Однако, в задачах нередко необходимо определять параметры смеси газов с разными молярными массами.

В этом случае применяется закон Дальтона.

Давление для каждой из компонент газа вычисляется отдельно, как если бы эта компонента была бы одна. Такое давление называется парциальным, а потом, общее давление смеси, в соответствии с законом Дальтона находится, как сумма парциальных давлений всех компонент.