Энергия заряженного конденсатора

Конденсатор способен накапливать на своих обкладках некоторый заряд. Для создания заряда необходимо совершить работу, передав конденсатору энергию. Выведем формулу энергии заряженного конденсатора.

Потенциальная энергия заряда в однородном поле

Поскольку поле заряженного конденсатора однородно, то легко найти работу по перемещению зарядов в этом поле. На пробный заряд $q$, помещенный в поле напряженностью $E$ действует сила:

$$\overrightarrow F=q\overrightarrow E$$

А значит, на пути $S$, лежащем вдоль силовой линии, будет совершена работа:

$$A=qES$$

Поскольку электрические силы консервативны, то важно, чтобы начальная и конечная точка перемещения заряда лежали на одной силовой линии, траектория пути роли не играет. Вся совершенная работа равна разности потенциальных энергий в начальной и конечной точках.

Приняв потенциальную энергию в начальной точке за нуль, получаем, что потенциальная энергия равна совершенной работе по перемещению заряда вдоль силовой линии однородного электрического поля:

$$W=qES$$

Энергия заряженного конденсатора

В заряженном конденсаторе электрическое поле напряженностью $E$ создается зарядами на обоих обкладках. Таким образом, напряженность поля одной обкладки равна $E\over 2$. И в этом поле находится заряд $q$ другой пластины. Расстояние между обкладками $d$. Следовательно, потенциальная энергия такого конденсатора равна:

$$W={qEd\over 2}$$

Учитывая, что $Ed=U$, получим:

$$W={qU\over 2}$$

Таким образом, энергия заряженного конденсатора прямо пропорциональна сообщенному заряду и напряжению между обкладками. Для конкретного конденсатора эти две величины связаны через электроемкость:

$$С={q\over U}$$

Поскольку на практике электроемкость конденсатора чаще всего известна, в формуле энергии удобно заряд выразить через нее. Окончательно получим:

$$W={CU^2\over 2}$$

При выводе данной формулы предполагалось, что конденсатор плоский, и его электрическое поле однородно. Однако, формула справедлива для любого конденсатора любой формы.

Конденсатор, поле которого неоднородно, можно представить в виде бесконечного множества элементарных конденсаторов, соединенных параллельно, поле которых хотя и различно, но в пределах каждого элементарного конденсатора однородно. Емкость параллельных конденсаторов равна сумме составляющих емкостей. А поскольку при параллельном соединении напряжение на всех элементарных конденсаторах будет одно и то же, то в формуле энергии можно заменить значение электроемкости суммой элементарных емкостей. Формула останется справедливой.

Фактически, если поле конденсатора неоднородно, это повлияет лишь на распределение зарядов по обкладкам. Общая энергия при сохранении общей емкости и общего напряжения останется неизменной.