Центр тяжести тела

Наряду с центром масс в физике пользуются понятием центра тяжести тела. Его нахождение – важная прикладная задача, необходимая для решения более сложных задач определения условий равновесия тел.

Рассмотрим два тела, соединенных невесомым стержнем. Система подвешена ни нити и находится в равновесии. Тогда точка, к которой прикреплена нить, есть центр тяжести. Из равенства моментов сил получаем соотношение:

$frac {m_1}{m_2} = frac {b}{a}$, где b и a – расстояние от центра тяжести до второго и первого тел соответственно. Таким образом, центр тяжести разделил расстояние между телами в отношении, обратном отношению их масс.

Из полученного результата можно судить о положении центров тяжести некоторых простых однородных тел. К примеру, центр тяжести стержня лежит в его середине, шара – в центре сферы, описываемой его поверхностью, а параллелепипеда – в точке пересечения его диагоналей.

Способы определения центра тяжести

Для однородных тел несложной формы часто используют аналитический метод. Формула расчета центра тяжести для объемных фигур:

$r_c = frac {1}{V} cdot iiintlimits_V r dV$, где V – объем тела.

Для плоских фигур:

$r_c = frac {1}{S} cdot iiintlimits_S r dS$, где S – площадь поверхности тела.

Для однородной линии:

$r_c = frac {1}{L} cdot iiintlimits_L r dL$, где L – длинна линии.

Общий случай, когда тела могут быть неоднородными и сложной формы, весьма сложен. Для них применяются следующие методы:

• Экспериментальный;
• Разбиения;
• Симметрии.

Первый метод осуществляется либо путем подвешивания тела на нити за разные его участки (вдоль нити проводят линии, в той точке, где они пересекаются, лежит центр тяжести), либо взвешиванием (например, автомобили прогоняют через весы и решают задачу, сходную той, что была решена для двух тел, скрепленных стержнем).

Второй метод сводится к тому, что всё тело разбивается на такие части, для которых легко найти центр тяжести, после чего находят центр тяжести всего тела по формуле:

$r_c = frac {sumlimits_{i=1}^n r_i cdot V_i}{sumlimits_{i=1}^n V_i}$

Наконец, третий метод исходит из того принципа, что центр тяжести симметричных тел лежит на оси или плоскости симметрии. Как правило, этот метод используют для упрощения предыдущих.